菲涅爾數(shù)公式，什么是菲涅耳數(shù)

表征激光諧振腔衍射損耗的一個參數(shù)。考慮由半徑都為a、相距為d的兩個圓形平行平面反射鏡A和B構成的諧振腔，設波長為λ的一束平行光射向鏡面A，被A反射后，按波動光學原理，將衍射到大小約為θ=λ/2a的角度內。而從鏡面中心發(fā)出的光束，若與腔軸成大小為a/d的夾角，則在腔內運行一次就要逸出腔外。如果要求光束在腔內至少往返n次，則光束與腔軸的夾角不能超過a/2nd。所以要使該諧振腔具有低損耗，就應滿足a/2nd>λ/2a。 定義N=a^2/d\lambda為菲涅耳數(shù)。上述要求變?yōu)镹>n，即N表示最大往返數(shù)。

菲涅耳公式由奧古斯丁·讓·菲涅耳導出。用來描述光在不同折射率的介質之間的行為。由公式推導出的光的反射稱之為“菲涅爾反射”。光波通過不同介質的分界面時會發(fā)生反射和折射，入射光分為反射光和折射光兩部分。這兩束光的進行方向之間的關系雖可由反射和折射定律決定，但二光束的振幅和振動取向卻不能決定。菲涅耳以光是橫波的設想為基礎，把入射光分為振動平面平行于入射面的線偏振光和垂直于入射面的線偏振光，并導出了光的折射比、反射比之間關系的菲涅耳公式。由菲涅耳公式可以求出一定入射角下反射和透射的振幅、強度等。可以很好地解釋光的反射與折射的起偏問題及半波損失問題等。菲涅耳公式作為光學和電磁理論的一個重要基本公式。而且在薄膜及電磁現(xiàn)象中應用非常廣泛。

簡單的說吧：1. R>>λ時2. 在計算dE =（-i /λ）*E0*( (1+cosθ) / 2 )*( e ^ ( ikr ) / r )* d∑積分的時候3. e ^ ( ikr )是不能直接看作常數(shù)的4. e的復指數(shù)實際上是三角函數(shù)5. 作為三角函數(shù)，哪怕自變量變了很小的范圍，最終的值也可能變很多6. 盡管r>>R7. 但kr在積分中會變過很多弧度2.λ>>R時這時，kr可以看做常量，但衍射積分公式就不再對了菲涅耳衍射積分公式及基爾霍夫邊界條件只適用于λ<<R時，比如光波這時就必須用電動力學的邊值關系進行嚴格求解

奧古斯汀·菲涅耳 Augustin Fresnel (1788～1827)，法國土木工程師兼物理學家。菲涅耳的科學成就主要有兩方面： 一是 衍射 ，他以惠更斯原理和干涉原理為基礎，用新的定量形式建立了以他們的姓氏命名的惠更斯－菲涅耳原理。他的實驗具有很強的直觀性、明銳性，很多仍通行的實驗和光學元件都冠有菲涅耳的姓氏，如：雙面鏡干涉、波帶片、菲涅耳鏡、圓孔衍射等。 另一成就是 偏振 ：他與阿拉戈一起研究了偏振光的干涉，肯定了光是橫波；發(fā)現(xiàn)了圓偏振光和橢圓偏振光，用波動說解釋了偏振面的旋轉；推出了反射定律和折射定律的定量規(guī)律，即菲涅耳公式；解釋了E.－L.馬呂斯的反射光偏振現(xiàn)象和雙折射現(xiàn)象，從而建立了晶體光學的基礎。 每種材質都帶有菲涅爾數(shù)值，這是根據(jù)其折射率來決定的。這個值表明了會有多少光線從物體表面被反彈，以及又有多少光線被吸收。 簡單的講，當視線垂直于表面時，反射較弱，而當視線非垂直表面時，夾角越小，反射越明顯。這就是“菲涅爾效應”。 如果站在湖邊，低頭看腳下的水，會發(fā)現(xiàn)水是透明的，反射不是特別強烈；如果看遠處的湖面，會發(fā)現(xiàn)水并不是透明的，反射非常強烈，可以看到很多景物的倒影：渲染中同理，當攝像機側對物體表面時，會比攝像機正對表面反射更多的光線。開啟Fresnel渲染結果會更接近現(xiàn)實物理世界，整體上感覺更真實。 以下是一個Glossy Fresnel效果開啟和關閉對比圖： 當光通過不同的介質界面時，入射光分為反射光和折射光兩部分，折射定律和反射定律決定了他們的方向，而這兩部分光的強度和振動的取向，都需要用電磁理論中的“菲涅耳公式”來解釋。 菲涅爾公式是光學中的重要公式，能夠解釋反射光的強度、折射光的強度、相位與入射光的強度的關系。菲涅爾公式（或菲涅爾方程），用來描述光在不同折射率介質之間的行為。由公式推導出的光的反射稱之為“菲涅爾反射”。 在光學里，菲涅爾衍射指的是光波在近場區(qū)域的衍射。 菲涅爾現(xiàn)象幾乎存在于90%的反射現(xiàn)象里面。 簡單的講，就是視線垂直于表面時，反射較弱，而當視線非垂直于表面時，夾角越小，反射越明顯。如果看向一個球體，球體中心的反射較弱，靠近邊緣較強，這就是菲涅爾衍射。 不同材質的菲涅爾效應強弱不同，導體(如金屬)的菲涅爾反射效應很弱，就拿鋁來說，其反射率在所有角度下幾乎都保持在86%以上，隨角度變化很小，而絕緣體材質的菲涅爾效應就很明顯，比如折射率為1.5的玻璃，在表面法向量方向的反射率僅為4%，但當視線與表面法向量夾角很大的時候，反射率可以接近100%，這一現(xiàn)象也使得金屬與非金屬看起來不同。在圖形學中，我們也可以加入菲涅爾反射效應，以使玻璃，瓷器，水面等物體的反射顯得更真實。 菲涅爾透鏡，又名螺紋透鏡，多是由聚烯烴材料注壓而成的薄片，也有玻璃制作的，鏡片表面一面為光面，另一面刻錄了由小到大的同心圓（即菲涅爾帶），它的紋理是根據(jù)光的干涉及擾射以及相對靈敏度和接收角度要求來設計的。此設計原來被應用于燈塔，這個設計可以建造更大孔徑的透鏡，其特點是焦距短，且比一般的透鏡的材料用量更少、重量與體積更小。和早期的透鏡相比，菲涅耳透鏡更薄，因此可以傳遞更多的光，使得燈塔即使距離相當遠仍可看見。由一系列同心扁長橢圓構成，位于發(fā)射天線和接收天線系統(tǒng)之間及其周圍的空間區(qū)域。 該概念用于理解和計算位于發(fā)射器和接收器之間的波（例如聲波、無線電波）的強度。

光源和光屏到障礙物的距離都很大，此時入射光為平行光，波面是平面，衍射光也是平行光。這種衍射稱為夫瑯禾費衍射，它是夫瑯禾費(J.von Fraunhofer)最早描述的(1821--1822年)。在實驗室里，我們可以很容易的用透鏡使入射球面光波變成平行光，很容易實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的條件。顯然，菲涅爾衍射是普遍情況，夫瑯禾費衍射只是它的特例。夫瑯禾費單縫衍射當衍射角θ=0時,所有衍射光線從縫面AB到會聚點0都經歷了相同的光程,因而它是同位相的振動.在O點合振動的振幅等于所有這些衍射線在該點引起的振動振幅之和,振幅最大,強度最大.2.夫瑯禾費單縫衍射O點呈現(xiàn)明紋,因處于屏中央,稱為中央明紋.設一束衍射光會聚在在屏幕上某點P ,它距屏幕中心 o 點為 x,對應該點的衍射角為θ.單縫面上其它各點發(fā)出的子波光線的光程差都比AC小.在其它位置:過B點作這束光的同相面BC,由同相面AB發(fā)出的子波到P點的光程差,僅僅產生在由AB面轉向BC面的路程之間.A點發(fā)出的子波比B點發(fā)出的子波多走了AC=asinθ的光程.每個完整的半波帶稱為菲涅爾半波帶.菲涅爾半波帶法:用λ / 2 分割 ,過等分點作 BC 的平行線(實際上是平面),等分點將 AB 等分----將單縫分割成數(shù)個半波帶.特點: 這些波帶的面積相等,可以認為各個波帶上的子波數(shù)目彼此相等(即光強是一樣的).每個波帶上下邊緣發(fā)出的子波在P點光程差恰應的位相差為λ / 2.菲涅爾數(shù):單縫波面被分成完整的波帶數(shù)目.它滿足:若單縫縫寬a,入射光波長λ 為定值,波面能被分成幾個波帶,便完全由衍射角決定.若m=2,單縫面,被分成兩個半波帶,這兩個半波帶大小相等,可以認為它們各自具同樣數(shù)量發(fā)射子波的點.每個波帶上對應點發(fā)出的子波會聚到P點,光程差恰好為 λ /2,相互干涉抵消.此時P點為暗紋極小值處.依此類推,當m=2k (k=1,2,3… )時,即m為偶數(shù)時,屏上衍射光線會聚點出現(xiàn)暗紋.(m為半波帶的數(shù)量)當m=2k+1(k=1,2,3… )時,即m為奇數(shù)時，屏上顯示的是明紋.如果對應于某個衍射角,單縫波面AB被分成奇數(shù)個半波帶,分割成偶數(shù)個半波帶,P 點為暗紋.分割成奇數(shù)個半波帶,P 點為明紋.