幾何圖形的定律，各種幾何圖形定理

三角形：1、三角形的內(nèi)角和180°. 2、三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. 3、三角形的任意兩邊之和都大于第三邊 4、直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 5、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 6、30°角所對的直角邊是斜邊的一半。 平行四邊形：1、平行四邊形對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補，對角線相互平分。 2、長方形對邊平行且相等，四個角都是90°，對角線相等且相互平分。 3、菱形四邊都相等，對角相等，鄰角互補，對角線相互垂直平分，且平分一組對角 4、正方形四邊相等，四個角都是直角，對角線相等且相互垂直平分。

立體幾何 1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。 能夠用斜二測法作圖。 2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念； 會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。 3.直線與平面 ①位置關系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。 ②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據(jù)。 ③直線與平面垂直的證明方法有哪些？ ④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線. 4.平面與平面 (1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況） (2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。 (3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質定理，可以證明線面垂直。 (4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形； ②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。 ③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法? 平面向量 1．基本概念： 向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。 2． 加法與減法的代數(shù)運算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）． 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜． 向量加法有如下規(guī)律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）; +0= ＋(－ )=0. 3．實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。 (1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜; (2) 當 ＞0時， 與 的方向相同；當 ＜0時， 與 的方向相反；當 =0時， =0． (3)若 =（ ），則 · =（ ）． 兩個向量共線的充要條件： (1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向線段 所成的比： 設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。 當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0； 分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ． 5． 向量的數(shù)量積： （1）．向量的夾角： 已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。 （2）．兩個向量的數(shù)量積： 已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影． （3）．向量的數(shù)量積的性質： 若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ; cos = = ． (4) ．向量的數(shù)量積的運算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想與方法： 本章主要樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

長方形： 定理：一個內(nèi)角是指教的平行四邊形是矩形,即長方形性質：對角線相等且互相平分； 　　對邊平行且相等 ；　　四個內(nèi)角相等且都是直角；　　有2條對稱軸；　　在沒有數(shù)據(jù)的情況下，水平的一邊為長，垂直與水平的那一邊的一邊為寬 　　長方形是特殊的平行四邊形，因此長方形具有平行四邊形所具有的一切性質 正方形： 定理：一組鄰邊相等是矩形是正方形 性質：兩組對邊分別平行； 四條邊都相等； 相鄰邊互相垂直　　 內(nèi)角：四個角都是90°；　　 對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角；　　 對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）菱形： 定理：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 性質：菱形的四條邊相等； 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線互相平分一對對角 平行四邊形： 定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 性質：平行四邊形兩組對邊分別平行； 平行四邊形的兩組對邊分別相等； 平行四邊形的兩組對角分別相等； 平行四邊形的對角線互相平分 . 矩形不就是長方形嗎？

正方形四條邊都相等

初等平面幾何 一 公理 1 任意不同的兩點確定通過它們的一條直線。 2 設AB是給定的線段，OX是已知的射線，則在射線OX上有且只有一點C，使得線段OC=AB。 3 幾何圖形可以遷移位置而不改變其形狀和大小。 4 平行公理：通過已知直線外一點至多可引一條直線和已知直線平行。 5 阿基米德公理：給定線段AB>CD, 當用后者去度量前者時，量了若干次后，總會超過前者，或者說，必定存在正整數(shù)n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd 二 軸對稱和中心對稱 1 軸對稱：沿某條直線對折，在直線兩旁的部分完全重合。這條直線叫對稱軸，能重合在一起的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫軸對稱圖形。（如等腰三角形） 性質：對稱點的中垂線即為對稱軸。 2 中心對稱：兩個圖形繞某中心旋轉180°能彼此重合。該點叫對稱中心，能重合的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫中心對稱圖形。（如平行四邊形） 性質：對稱點的中點即為對稱中心。 三 基本概念 1 線段的中垂線和角的平分線 （1）中垂線的性質： 1°中垂線上任一點距線段兩端等遠 2°凡距線段兩端等遠的點都在中垂線上 （2）角平分線的性質： 1°角平分線上的任一點同角的兩邊等距 2°凡在角內(nèi)同兩邊等距的點都在角平分線上 2視角 （1）線段的視角：自一點發(fā)出兩條射線使分別通過一已知線段的兩端，則這兩條射線所成的角，叫做該點對已知線段的視角。 （2）點對圓的視角：自圓外一點向圓所引的兩切線（視為射線），這兩切線的夾角叫做該點對圓的視角。 三 全等三角形 1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大邊邊角) S.s.a: 兩三角形若有兩邊及其中大邊的對角對應相等，則它們必是全等的。 證：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均為大邊，a=a1, b=b1,且A=A1，則sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互補，但若是互補，那么 max(B,B1)≥90°,這與b,b1是小邊矛盾，所以B=B1. 注意：小邊邊角不成立。 2 全等直角三角形： （1）直角邊，直角邊（s.a.s） （2）斜邊，直角邊(S.s.a) （3）直角邊，相鄰或相對銳角(a.s.a, a.a.s) （4）斜邊，銳角(a.a.s) 四 平行線 1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直線的兩條直線互相平行。 2判定定理：兩已知直線被第三條直線所截，若下列條件之一成立，則這兩已知直線互相平行： 1°同位角相等 2°內(nèi)錯角相等 3°同旁內(nèi)角互補 3性質定理：若兩直線被第三條直線所截，則所成 1°同位角相等 2°內(nèi)錯角相等 3°同旁內(nèi)角互補 推論：（1）若兩條直線垂直于兩條平行線之一，則也垂直于另一條。 （2）相交直線的垂線也相交。 4平行截割定理： （1）兩條直線被一組平行線所截，如果在一條直線截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。 如果兩條直線被一組截線各截出相等的線段，而且這組截線中有兩條平行，那么全組截線都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理） （2）角平行截割定理：角的兩邊被平行線所截，如果在一邊截得的線段相等，那么在另一邊截得的線段也相等。 角平行截割定理逆定理：角的兩邊被一組截線各截出相等的線段，那么全組截線都是互相平行的。 （3）關于比例的平行截割定理： 1°兩條直線被一條平行于第三邊的直線所截，截得的線段必成比例。 2°如果兩條直線被一組截線截出的線段成比例，而且這組截線中有兩條平行，那么全組截線都是互相平行的。 3°三角形的兩邊被一組平行線所截，截得的線段必成比例。 4°逆定理：如果三角形的兩邊被一條直線截得的線段成比例，那么這條直線平行于第三邊。 （4）中位線定理 1°三角形任一中位線平行于第三邊且等于該邊的一半。 2°梯形的中位線平行于底邊且等于兩底和的一半。 五 圖形 （一）三角形 1 外角定理：三角形的每個外角大于任一內(nèi)對角。 2 等腰三角形：四線合一 3 三角形不等定理： （1）大邊對大角，大角對大邊 （2）三角形中，任一邊小于其它兩邊之和而大于它們的差。 推論：對于任意三點A、B、C，總有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC （3）若兩個三角形彼此有兩邊對應相等，則 1°夾角大的，對邊較大 2°第三邊大的，對角較大 4 五心 （1）外心：三邊中垂線之交點，也是外接圓之圓心 （2）重心：三邊中線之交點 （3）垂心：三邊高線之交點（與三頂點構成垂心組） （4）內(nèi)心：三內(nèi)角平分線之交點，也是內(nèi)切圓之圓心 （5）旁心：一內(nèi)角與另外兩內(nèi)角之外角的三條角平分線之交點，共有3點，也是旁切圓之圓心 5 內(nèi)、外角平分線定理：設三角形某角及其外角的平分線同對邊及其延長線相交，則交點分別內(nèi)分及外分對邊，所得分比等于兩鄰邊之比。（逆定理存在） 6 正三角形：PA≤PB+PC，當P位于其外接圓中A點所對的弧BC時取等號。 （二）平行四邊形 1 定義：兩雙對邊各互相平行的四邊形。 2 性質定理： 1°兩雙對邊各相等 2°兩雙對角各相等 3°兩對角線各互相平分 3 判定定理：四邊形若具有下列條件之一，則必是平行四邊形 1°兩雙對邊各相等 2°兩雙對角各相等 3°兩對角線各互相平分 4°一雙對邊平行且相等 4 矩形：等角的平行四邊形（兩對角線相等，對邊中點的連線為對稱軸） 菱形：等邊的平行四邊形（兩對角線互相平分，且對角線為對稱軸） 正方形：既是矩形又是菱形的四邊形（4條對稱軸） （三）梯形 1 定義：有一雙對邊平行的四邊形。 2 等腰梯形：兩腰相等，兩底角相等，對角線相等，以兩底中點的連線為對稱軸。 （四）多邊形 1 內(nèi)角和：（n-2）*180°,外角和：360° 2 正多邊形：每條邊、每個角都相等的多邊形 （五） 圓 1 對稱性：以圓心為對稱中心，以任一條直徑為對稱軸。 2 不等定理：弧、弦、圓心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR 3 切線定理 （1）圓的切線垂直于過切點的半徑 （2）經(jīng)過圓半徑外端且垂直于這條半徑的直線，是圓的切線 （3）自圓外一點向圓所引的兩切線等長，且自該點至圓心所引的射線平分該點對圓的視角 （4）公切線定理：兩圓的兩條外公切線等長，兩條內(nèi)公切線也等長 （5）兩圓相切定理： 1°相切兩圓的切點在連心線上，反之，兩圓過連心線上同一點必然相切 2°兩圓外切的充要條件是OO′= R+R′，內(nèi)切的充要條件是OO′= ∣R-R′∣ 4 圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角 （在一圓中，同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半） 弦切角：一邊和圓相交，另一邊和圓相切于頂點的角 （圓的弦切角等于它包含的弧所對的圓周角） 圓內(nèi)角：頂點在圓內(nèi)的角 （圓的圓內(nèi)角，等于它本身及其對頂角包含的弧所對的圓周角之和） 圓外角：頂點在圓外而兩邊和圓均有公共點的角 （圓的圓外角，等于它包含的兩弧所對的圓周角之差） 總結：1°同弧所對的：圓內(nèi)角>圓周角=弦切角>圓外角 2°如果一個角的兩邊和圓均有公共點而且等于圓周角，那么此角的頂點一定在圓上。 5 圓內(nèi)接四邊形：對角互補。（逆定理存在） 圓外切四邊形：對邊和相等。（逆定理存在） 6 圓冪定理：已知一圓O，通過一點P任作一割線交圓于A、B，則 p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,這個p′值，叫做P點對于圓O的冪。具體的說，點在圓外冪為正，點在圓內(nèi)冪為負，點在圓上冪為0 7 四點共圓的判斷： （1）對角互補的四邊形 （2）兩點對一線段等視角 （3）圓冪定理：PA*PB=PC*PD 六 相似三角形 1 基本定理：平行于三角形的一邊而且和其它兩邊相交的直線，截得的三角形和原三角形相似。 2 判定定理：兩個三角形若具有下列條件之一，則它們必是相似的： （1）兩雙對應角各相等（a.a） （2）一雙對應角相等且其夾邊成比例(a.s.a) （3）三雙對應邊成比例(s.s.s) （4）兩雙對應邊成比例且其中大邊的對角相等(S.s.a) 3 相似三角形任一雙對應線段（如對應的高、中線、角平分線等）的比都等于相似比。 七 面積 S（平行四邊形）=ah=absinα S（矩形）=ab S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2 S（正方形）=a2= (1/2)l2 S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC S（圓）=πR2 S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2 S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα） 貝利契納德公式：S(四邊形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2 卜拉美古嗒公式：S(圓內(nèi)接四邊形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s為半周) 海倫公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2 八 基本軌跡： 1 距離兩個已知點等遠的點的軌跡，是這兩點間所連線段的中垂線。 2 在已知角內(nèi)和兩邊等距的點的軌跡，是這個角的平分線。 3 同兩條平行的已知直線等距的點的軌跡是一條直線，它和這兩條已知直線平行，且同它們等距。 4 到一條已知直線距離為定長的點的軌跡，是在已知直線兩側并和它平行的一雙直線，其中每一條到已知直線的距離都等于定長。 5 到一個定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的一個圓。 6 對于一定線段的視角等于定角的點的軌跡，是以定線段為弦的一雙弓形弧。 7 對于一定線段的視角等于直角的點的軌跡，是以定線段為直徑的一個圓。 九 特別概念 1 歐拉線：三角形的外心、重心、垂心共線 （重心到一邊之距離等于對頂點到垂心距離之一半） 2 牛頓線：完全四邊形三條對角線的中點共線 3 密克點：完全四邊形各邊交成四個三角形，它們的外接圓共點。 4 西摩松線： （1）某點在三角形三邊或其延長線上的正射影共線的充要條件是某點在三角形的外接圓上。三正射影所在的直線叫做叫做某點對于三角形的西摩松線。 （2）完全四邊形的密克點在四邊上的正射影共線。這直線叫做完全四邊形的西摩松線。既然都喜歡數(shù)學 就一起加油

初等平面幾何 一 公理 1 任意不同的兩點確定通過它們的一條直線。 2 設AB是給定的線段，OX是已知的射線，則在射線OX上有且只有一點C，使得線段OC=AB。 3 幾何圖形可以遷移位置而不改變其形狀和大小。 4 平行公理：通過已知直線外一點至多可引一條直線和已知直線平行。 5 阿基米德公理：給定線段AB>CD, 當用后者去度量前者時，量了若干次后，總會超過前者，或者說，必定存在正整數(shù)n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd 二 軸對稱和中心對稱 1 軸對稱：沿某條直線對折，在直線兩旁的部分完全重合。這條直線叫對稱軸，能重合在一起的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫軸對稱圖形。（如等腰三角形） 性質：對稱點的中垂線即為對稱軸。 2 中心對稱：兩個圖形繞某中心旋轉180°能彼此重合。該點叫對稱中心，能重合的點叫對稱點。若這是一個圖形，就叫中心對稱圖形。（如平行四邊形） 性質：對稱點的中點即為對稱中心。 三 基本概念 1 線段的中垂線和角的平分線 （1）中垂線的性質： 1°中垂線上任一點距線段兩端等遠 2°凡距線段兩端等遠的點都在中垂線上 （2）角平分線的性質： 1°角平分線上的任一點同角的兩邊等距 2°凡在角內(nèi)同兩邊等距的點都在角平分線上 2視角 （1）線段的視角：自一點發(fā)出兩條射線使分別通過一已知線段的兩端，則這兩條射線所成的角，叫做該點對已知線段的視角。 （2）點對圓的視角：自圓外一點向圓所引的兩切線（視為射線），這兩切線的夾角叫做該點對圓的視角。 三 全等三角形 1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大邊邊角) S.s.a: 兩三角形若有兩邊及其中大邊的對角對應相等，則它們必是全等的。 證：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均為大邊，a=a1, b=b1,且A=A1，則sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互補，但若是互補，那么 max(B,B1)≥90°,這與b,b1是小邊矛盾，所以B=B1. 注意：小邊邊角不成立。 2 全等直角三角形： （1）直角邊，直角邊（s.a.s） （2）斜邊，直角邊(S.s.a) （3）直角邊，相鄰或相對銳角(a.s.a, a.a.s) （4）斜邊，銳角(a.a.s) 四 平行線 1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直線的兩條直線互相平行。 2判定定理：兩已知直線被第三條直線所截，若下列條件之一成立，則這兩已知直線互相平行： 1°同位角相等 2°內(nèi)錯角相等 3°同旁內(nèi)角互補 3性質定理：若兩直線被第三條直線所截，則所成 1°同位角相等 2°內(nèi)錯角相等 3°同旁內(nèi)角互補 推論：（1）若兩條直線垂直于兩條平行線之一，則也垂直于另一條。 （2）相交直線的垂線也相交。 4平行截割定理： （1）兩條直線被一組平行線所截，如果在一條直線截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。 如果兩條直線被一組截線各截出相等的線段，而且這組截線中有兩條平行，那么全組截線都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理） （2）角平行截割定理：角的兩邊被平行線所截，如果在一邊截得的線段相等，那么在另一邊截得的線段也相等。 角平行截割定理逆定理：角的兩邊被一組截線各截出相等的線段，那么全組截線都是互相平行的。 （3）關于比例的平行截割定理： 1°兩條直線被一條平行于第三邊的直線所截，截得的線段必成比例。 2°如果兩條直線被一組截線截出的線段成比例，而且這組截線中有兩條平行，那么全組截線都是互相平行的。 3°三角形的兩邊被一組平行線所截，截得的線段必成比例。 4°逆定理：如果三角形的兩邊被一條直線截得的線段成比例，那么這條直線平行于第三邊。 （4）中位線定理 1°三角形任一中位線平行于第三邊且等于該邊的一半。 2°梯形的中位線平行于底邊且等于兩底和的一半。 五 圖形 （一）三角形 1 外角定理：三角形的每個外角大于任一內(nèi)對角。 2 等腰三角形：四線合一 3 三角形不等定理： （1）大邊對大角，大角對大邊 （2）三角形中，任一邊小于其它兩邊之和而大于它們的差。 推論：對于任意三點A、B、C，總有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC （3）若兩個三角形彼此有兩邊對應相等，則 1°夾角大的，對邊較大 2°第三邊大的，對角較大 4 五心 （1）外心：三邊中垂線之交點，也是外接圓之圓心 （2）重心：三邊中線之交點 （3）垂心：三邊高線之交點（與三頂點構成垂心組） （4）內(nèi)心：三內(nèi)角平分線之交點，也是內(nèi)切圓之圓心 （5）旁心：一內(nèi)角與另外兩內(nèi)角之外角的三條角平分線之交點，共有3點，也是旁切圓之圓心 5 內(nèi)、外角平分線定理：設三角形某角及其外角的平分線同對邊及其延長線相交，則交點分別內(nèi)分及外分對邊，所得分比等于兩鄰邊之比。（逆定理存在） 6 正三角形：PA≤PB+PC，當P位于其外接圓中A點所對的弧BC時取等號。 （二）平行四邊形 1 定義：兩雙對邊各互相平行的四邊形。 2 性質定理： 1°兩雙對邊各相等 2°兩雙對角各相等 3°兩對角線各互相平分 3 判定定理：四邊形若具有下列條件之一，則必是平行四邊形 1°兩雙對邊各相等 2°兩雙對角各相等 3°兩對角線各互相平分 4°一雙對邊平行且相等 4 矩形：等角的平行四邊形（兩對角線相等，對邊中點的連線為對稱軸） 菱形：等邊的平行四邊形（兩對角線互相平分，且對角線為對稱軸） 正方形：既是矩形又是菱形的四邊形（4條對稱軸） （三）梯形 1 定義：有一雙對邊平行的四邊形。 2 等腰梯形：兩腰相等，兩底角相等，對角線相等，以兩底中點的連線為對稱軸。 （四）多邊形 1 內(nèi)角和：（n-2）*180°,外角和：360° 2 正多邊形：每條邊、每個角都相等的多邊形 （五） 圓 1 對稱性：以圓心為對稱中心，以任一條直徑為對稱軸。 2 不等定理：弧、弦、圓心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR 3 切線定理 （1）圓的切線垂直于過切點的半徑 （2）經(jīng)過圓半徑外端且垂直于這條半徑的直線，是圓的切線 （3）自圓外一點向圓所引的兩切線等長，且自該點至圓心所引的射線平分該點對圓的視角 （4）公切線定理：兩圓的兩條外公切線等長，兩條內(nèi)公切線也等長 （5）兩圓相切定理： 1°相切兩圓的切點在連心線上，反之，兩圓過連心線上同一點必然相切 2°兩圓外切的充要條件是OO′= R+R′，內(nèi)切的充要條件是OO′= ∣R-R′∣ 4 圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角 （在一圓中，同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半） 弦切角：一邊和圓相交，另一邊和圓相切于頂點的角 （圓的弦切角等于它包含的弧所對的圓周角） 圓內(nèi)角：頂點在圓內(nèi)的角 （圓的圓內(nèi)角，等于它本身及其對頂角包含的弧所對的圓周角之和） 圓外角：頂點在圓外而兩邊和圓均有公共點的角 （圓的圓外角，等于它包含的兩弧所對的圓周角之差） 總結：1°同弧所對的：圓內(nèi)角>圓周角=弦切角>圓外角 2°如果一個角的兩邊和圓均有公共點而且等于圓周角，那么此角的頂點一定在圓上。 5 圓內(nèi)接四邊形：對角互補。（逆定理存在） 圓外切四邊形：對邊和相等。（逆定理存在） 6 圓冪定理：已知一圓O，通過一點P任作一割線交圓于A、B，則 p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,這個p′值，叫做P點對于圓O的冪。具體的說，點在圓外冪為正，點在圓內(nèi)冪為負，點在圓上冪為0 7 四點共圓的判斷： （1）對角互補的四邊形 （2）兩點對一線段等視角 （3）圓冪定理：PA*PB=PC*PD 六 相似三角形 1 基本定理：平行于三角形的一邊而且和其它兩邊相交的直線，截得的三角形和原三角形相似。 2 判定定理：兩個三角形若具有下列條件之一，則它們必是相似的： （1）兩雙對應角各相等（a.a） （2）一雙對應角相等且其夾邊成比例(a.s.a) （3）三雙對應邊成比例(s.s.s) （4）兩雙對應邊成比例且其中大邊的對角相等(S.s.a) 3 相似三角形任一雙對應線段（如對應的高、中線、角平分線等）的比都等于相似比。 七 面積 S（平行四邊形）=ah=absinα S（矩形）=ab S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2 S（正方形）=a2= (1/2)l2 S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC S（圓）=πR2 S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2 S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα） 貝利契納德公式：S(四邊形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2 卜拉美古嗒公式：S(圓內(nèi)接四邊形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s為半周) 海倫公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2 八 基本軌跡： 1 距離兩個已知點等遠的點的軌跡，是這兩點間所連線段的中垂線。 2 在已知角內(nèi)和兩邊等距的點的軌跡，是這個角的平分線。 3 同兩條平行的已知直線等距的點的軌跡是一條直線，它和這兩條已知直線平行，且同它們等距。 4 到一條已知直線距離為定長的點的軌跡，是在已知直線兩側并和它平行的一雙直線，其中每一條到已知直線的距離都等于定長。 5 到一個定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的一個圓。 6 對于一定線段的視角等于定角的點的軌跡，是以定線段為弦的一雙弓形弧。 7 對于一定線段的視角等于直角的點的軌跡，是以定線段為直徑的一個圓。 九 特別概念 1 歐拉線：三角形的外心、重心、垂心共線 （重心到一邊之距離等于對頂點到垂心距離之一半） 2 牛頓線：完全四邊形三條對角線的中點共線 3 密克點：完全四邊形各邊交成四個三角形，它們的外接圓共點。 4 西摩松線： （1）某點在三角形三邊或其延長線上的正射影共線的充要條件是某點在三角形的外接圓上。三正射影所在的直線叫做叫做某點對于三角形的西摩松線。 （2）完全四邊形的密克點在四邊上的正射影共線。這直線叫做完全四邊形的西摩松線。既然都喜歡數(shù)學 就一起加油